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# 随机变量与误差

绝对误差 Δx=x−x0\Delta x=x-x_0，你以为的（测量值）减去真实值
等精度测量和不等精度测量，这里讨论的都是等精度
相对误差 N=Δx∣x0∣N=\dfrac{\Delta x}{|x_0|}{}，绝对误差除以真实值
真实值一般是不可能得到的，所以取约定真值（理论值 / 公认值），或者取多次测量的平均值 xˉ\bar x

系统误差：大小、正负有某种规律
随机误差
存在多种分布形式，一般是正态分布，它是一种连续分布
连续型随机变量的期望定义为 E(x)=∫−∞+∞xf(x)dxE(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} xf(x) {\rm d}x
连续型随机变量的方差定义为 D(x)=∫−∞+∞[x−E(x)]2f(x)dxD(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} [x-E(x)]^2f(x) {\rm d}x
正态分布密度函数 f(x)=1σ2πe−(x−μ)22σ2f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{\tfrac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}{}
μ\mu 为期望（平均值），σ\sigma 为标准差
平均值附近的区间 (μ−kσ,μ+kσ)(\mu-k\sigma,\mu+k\sigma) 称为置信区间，其中 kk 为置信因子，这个区间上的概率称为置信概率；正态分布中 k=3k=3 的置信概率达到了 99.73%，可以认为这个区间以外的数据异常（3σ 原则）

有限（nn）次测量
样本平均值 xˉ=1n∑nxi\bar x=\dfrac 1n \sum\limits^n x_i
样本方差 Sn^2=1n−1∑n(xi−xˉ)2\hat{S_n}^2=\dfrac {1}{n-1} \sum\limits^n (x_i-\bar x)^2
理解上，这个式子是 “Σ 频率 × 数据”；记真实的方差为 σ2\sigma^2，真实的平均值为 μ\mu
为什么是 n−1n-1 而不是 nn：这里做了详细推导。结论：除以 n−1n-1 的值是 “无偏估计”，也就是说这个值将回归到真实的方差 σ2\sigma^2；而如果除以 nn，得到的结果是 n−1nσ2\dfrac{n-1}{n}\sigma^2，这个数只有在 n→∞n \to \infty 时才为真实的方差。理解上：给出的这个公式计算方差之前已经定好了样本平均值，也就是已经选定了 nn 个数，这使得只要确定 n−1n-1 个数，最后一个数就已经确定了；而如果将上面的公式中 xˉ\bar x 改为真实的平均值 μ\mu，那么就要除以 nn 而不是 n−1n-1，因为真实平均值并没有限定这 nn 个数，选定了 n−1n-1 个数之后，最后一个数无法确定。还有一种更傻瓜式的解读，样本的方差一般是要比总体的方差要低一些，所以要除以一个较小的数使得总体方差稍微大一些。

任意一次测量的实验标准偏差 Sx=∑n(xi−xˉ)2n−1{S_x}=\sqrt{\dfrac {\sum\limits^n (x_i-\bar x)^2}{n-1}}{}（贝塞尔公式）
平均值的实验标准偏差 Sxˉ=SxnS_{\bar x}=\dfrac{S_x}{\sqrt n}{}

三个 “精度”：

  • 精密度 Precision 指数据比较集中
  • 准确度 Correctness 指数据平均值离真实值比较近（数据均匀分布在真实值周边）
  • 精确度 Accuracy 指精密度和准确度都很好

# 不确定度

  • A 类标准不确定度：用统计方法计算得出的不确定度
  • B 类标准不确定度：用其他方法计算得出的不确定度

对某一被测的量，做了 nn 次等精度独立测量，则：

  • 任意一次测量的 A 类标准不确定度 uA(x)=Sx=∑n(xi−xˉ)2n−1u_A(x)=S_x=\sqrt{\dfrac {\sum\limits^n (x_i-\bar x)^2}{n-1}}{}
  • 平均值的 A 类标准不确定度 uA(xˉ)=Sxˉ=∑n(xi−xˉ)2n(n−1)u_A(\bar x)=S_{\bar x}=\sqrt{\dfrac{\sum\limits^n (x_i-\bar x)^2}{n(n-1)}}{}
  • 记测量仪器本身的允许误差极限为 Δins\Delta_{\rm ins}{}，置信因子为 kk，则 B 类标准不确定度 uB=Δinsku_B=\dfrac{\Delta_{\rm ins}}{k}{}。其中
    • 当测量误差服从均匀分布（如电子计数器的量化、仪器刻度盘示值的分辨力、平衡指示仪的调零、度盘与齿轮的空程差、数据切尾等）、置信概率取 100% 时，经计算可知 k=3k=\sqrt 3
    • Δins\Delta_{\rm ins}{} 可以近似等于最小分度值的一半

合成标准不确定度 uC=uA2+uB2u_C=\sqrt{u_A^2+u_B^2}{}，若有若干组不同的 AB 类不确定度，则各自平方全部相加再开根号

# 测量结果的表示

对被测量 X，我们表示为 X=xˉ(uC)X=\bar x(u_C)（若只有一组值则 xˉ=x\bar x=x），例如 L=114.51(0.05)mmL=114.51(0.05) \rm mm，其中 114.51mm 是最佳估计值（最佳估计值带符号）

若是间接测量量，例如待测量 Φ\Phi 是 NN 个相互独立的直接测量量的函数 Φ=F(x1,⋯,xn)\Phi=F(x_1,\cdots,x_n)，那么有标准不确定度传递公式 uC(Φ)=∑i=1N(∂Φ∂xi)2uC2(xi)u_C(\Phi)=\sqrt{\sum\limits^N_{i=1}(\dfrac{\partial\Phi}{\partial x_i})^2u_C^2(x_i)}{}，最后表示为 Φ=ϕ(uC(Φ))\Phi=\phi(u_C(\Phi))

标准相对不确定度 E=uCxE=\dfrac{u_C}x，其中 x 是最佳估计值，是一个无量纲数，一般表示成百分数

若是间接测量量，则由上面公式有 E=uC(Φ)Φ=∑i=1N(∂lnΦ∂xi)2uC2(xi)E=\dfrac{u_C(\Phi)}{\Phi}=\sqrt{\sum\limits^N_{i=1}(\dfrac{\partial ln\Phi}{\partial x_i})^2u_C^2(x_i)}{}

# 有效数字

有效数字与单位无关，114.5mm=11.45cm=0.1145m，始终是 4 位有效数字

修约：四舍六入五凑偶。

  • ≤4 ，直接舍去
  • ≥6 ，进一
  • 若为 5
    • 当 5 后有有效数字时，进一
    • 当 5 后无有效数字时
      • 5 前为奇数时，进一凑成偶数
      • 5 前为偶数时，直接舍去

举例：保留两位小数

  • 9.8249≈9.82
  • 9.82671≈9.83
  • 9.8350≈9.84
  • 9.83501≈9.84
  • 9.8250≈9.82
  • 9.82501≈9.83

有效数字之间的运算

  • 准确值与准确值运算得准确值，可疑值与可疑值运算得可疑值
  • 准确值与可疑值运算得可疑值，进位数字视为准确值
  • 加减 保留小数点后位数最少的
  • 乘除 保留有效数字最低的
  • 乘方开方 保留精度与底数精度相同
  • 对数 保留精度比真数精度多一位（或者相同）

不确定度有效数字只能取 1-2 位，不确定度第一位个有效数字是 1 或 2 时，取两位；是 3 及以上时，取 1 位

# 数据处理

列表、作图法
逐差法（不是超级大邻差，那个只适用于计算含有 Δs\Delta s 的）
残差 e^i=yi−y^i\hat e_i=y_i-\hat y_i，唯一一个 “真实的 - 你以为的”，其他的都是 “你以为的 - 真实的”

相关系数 r=∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑(xi−xˉ)2∑(yi−yˉ)2r=\dfrac{\sum\limits(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum\limits(x_i-\bar x)^2}\sqrt{\sum\limits(y_i-\bar y)^2}}{}
r∈[−1,1]r \in [-1,1]，相关系数越靠近 1，越线性正相关；相关系数越靠近 - 1，越线性负相关

最小二乘法
y^=b^x+a^\hat y=\hat bx+\hat a，其中
b^=∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑(xi−xˉ)2\hat b=\dfrac{\sum\limits(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum\limits(x_i-\bar x)^2}{}
a^=yˉ−b^xˉ\hat a=\bar y-\hat b\bar x

相关指数 R2=1−∑(yi−y^)2∑(yi−yˉ)2R^2=1-\dfrac{\sum\limits(y_i-\hat y)^2}{\sum\limits(y_i-\bar y)^2}{}
相关指数越大，残差平方和越小，拟合效果越好；相关指数越小，残差平方和越大，拟合效果越差